Chuyện năm thứ nhất – Nội dung học toán cao cấp và thầy giáo dạy toán

 

Môn toán năm thứ nhất ngành Kinh tế nông nghiệp tại ĐHNNI khóa 20 (1975-1980) theo chương trình là 120 tiết. Khi tôi vào lớp, thầy Thanh đã dạy xong phần đạo hàm, vi phân, tích phân, bắt đầu vào chuỗi, tổ hợp và lý thuyết tập hợp. Bây giờ nghĩ lại những nội dung học thời đó tôi mới “ngộ ra” nhiều điều. Khi đó, chúng tôi nghĩ khi ra trường thì làm sao dùng được kiến thức toán cao cấp trong công việc kĩ sư kinh tế nông nghiệp của mình.

Dưới đây tôi cố gắng ghi chép những nội dung đã học, các kí ức còn lưu lại trong thời gian học, ôn tập, thi và những kinh nghiệm của tôi trong quá trình công việc gần 35 năm cho công việc giảng dạy và nghiên cứu sau này.

1. Môn toán năm thứ nhất chúng tôi được dạy những gì

Nội dung mục 1 này là do tôi nhớ lại và chủ yếu là tôi tổng hợp từ kinh nghiệm sử dụng toán nhiều năm sau này (tạm xem ảnh các nội dung toán giải tích).

Phần công thức đưa vào blog bị phá mã khó đọc
nên tôi để dạng ảnh cho đầy đủ.

1.2 Lý thuyết tập hợp 

Lý thuyết tập hợp (tiếng Anh là Set Theory) là ngành toán học nghiên cứu về tập hợp, cung cấp nền tảng để mô tả và làm việc với các tập hợp, là một nhánh của toán học nghiên cứu về tập hợp.

Các phép toán trên các tập hợp:

Hợp của A và B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A và B, ký hiệu A∪B

Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tất cả các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B, ký hiệu A∩B

Hiệu của tập hợp A với B là tập hợp các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B, ký hiệu A∖B.

Tóm lại chút nhé: năm thứ nhất đại học, học toán cao cấp gồm 2 phần toán: phần giải tích học 4 nội dung, phần lý thuyết tập hợp học 1 nội dung. Tôi sẽ đề cập đến ý nghĩa của chúng ở các nội dung dưới trong ghi chép này.

Nói chung, chúng tôi ở độ tuổi bây giờ nhìn vào những nội dung đã học trên như nhìn lại để thấy một thời “oai hùng biết mấy” vì cũng đã được ngồi trên ghế trường đại học, nghe giảng những điều tổng quát toán học các sự kiện trong tự nhiên được con người tìm ra hàng mấy trăm năm trước. Đúng là “oai hùng biết mấy” chứ, để con cháu chúng tôi biết thì tốt, còn không biết cũng chả sao. Nhưng nay nhìn con cháu học toán thì thấy điều đó chẳng là gì lắm vì chính tôi cũng đã từng trải nghiệm (đại loại như trải nghiệm một món ăn mà ta thì đã từng nếm còn con cháu ta nay mới biết vậy!).

2. Thầy giáo dạy toán cao cấp và những gì tôi còn nhớ về thầy

Thầy tên Thanh (không nhớ họ), người nhỏ gầy nhưng rất nhanh nhẹn, có dáng đi xuống lớp qua các dãy bàn kiểu đi nghiêng (hơi giống kiểu đi của anh Ngô Quý Quân). Thầy còn trẻ, chừng hơn 30 tuổi. Thầy người Hà Nội (?), khuôn mặt tươi, khi cười có má lúm một vệt ngắn duyên lắm (không phải vết tròn như lúm đồng tiền mà là một vết lúm sâu nhẹ và dài). Thầy nói giọng Hà Nội rất điệu và hay, dạy toán mà viết bảng như đang múa tay, viết rất nhanh những công thức nhưng nét chữ mảnh và đẹp, rõ ràng. Khi hết bài giảng thì bảng trên lớp đầy những công thức và đồ thị được tính toán bố trí rất đẹp[1]. Tôi rất thích những buổi dạy toán của thầy và cũng rất thích tác phong nhanh nhẹn vui tươi, hào hoa của người Hà Nội – đúng là có nét hào hoa mà cả đời tôi quan sát người hào hoa Hà Nội đều thấy cái đặc biệt của nó. Cái hào hoa của thầy có vẻ hơi “ẻo lả” một chút nhưng rất là duyên và có lẽ phù hợp với cơ thể của thầy. Nếu thầy cao to thì hào hoa sẽ nổi bật ở sự nhanh nhẹn, dứt khoát, nhưng vì thầy thấp bé nên “ẻo lả” một chút là hợp hơn chăng? Nay thì khó mà tìm ra được vì người Hà Nội kiểu hào hoa phong nhã mà “ẻo lả” một chút như thầy Thanh.

Tôi nghĩ các chị em KT20 đều yêu thích thầy – yêu cái cười có vệt lúm, yêu giọng nói nhẹ nhàng nhưng quý phái, yêu cái nhìn tử tế thẳng thắn mang ngôn ngữ toán - nhưng chị em chắc là cũng đều sợ thầy như sợ toán!

Thầy còn dạy KT20 thêm năm thứ 2 nữa, tôi sẽ nói sau. Từ năm thứ 2 thì thầy hay nói về việc thầy đang được cử đi học để thi nghiên cứu sinh ở trường KTQD…

Thầy Thanh dạy đạo hàm, vi phân và tích phân thế nào thì tôi không rõ vì sau 8 tuần tôi mới vào lớp, khi đó thầy đã dạy xong các nội dung trên rồi. Tôi chỉ được nghe giảng từ phần chuỗi số. Phải nói là Thầy nói rất hay về chuỗi, trong đó thầy nói chuỗi Markov[2] (hay xích Markov – Markov Chain). Tính chất Markov là: Xác suất của các sự kiện trong tương lai chỉ phụ thuộc vào trạng thái hiện tại của hệ thống, không phụ thuộc vào lịch sử các trạng thái trước đó. Chuỗi Markov có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực: Thống kê sử dụng mô hình hóa dữ liệu chuỗi thời gian, dự đoán xu hướng, Hệ thống sử dụng xử lý tín hiệu (mạng máy tính, hệ thống giao thông, tín hiệu âm thanh, hình ảnh), Kinh tế sử dụng trong dự đoán thị trường chứng khoán, mô hình hóa hành vi của người tiêu dùng, Sinh học sử dụng để mô hình hóa sự phát triển của quần thể, lan truyền bệnh tật…

Tôi rất thích thầy nêu ví dụ đơn giản về chuỗi Markov là mô hình dự đoán thời tiết. Giả sử có ba trạng thái thời tiết: nắng, âm u, và mưa. Nếu bạn biết hôm nay trời nắng, bạn có thể sử dụng một chuỗi Markov để dự đoán xác suất trời nắng, âm u, hoặc mưa vào ngày mai mà không cần biết thời tiết của các ngày trước đó.

Rồi Thầy nói về mô phỏng toán học, nhất là khoa học máy tính dùng chuỗi Markov. Tôi nhớ thầy nói về việc phát triển một dãy kết quả mà chỉ dựa vào một dấu vết tìm được trong thực tiễn có ý nghĩa to lớn như thế nào trong nghiên cứu. Ngày nay thì rõ ràng các dự báo hay kiến thức AI (trí tuệ nhân tạo) khai thác rất mạnh tính chất này. Nhưng có lẽ thầy cũng rất say sưa với nó khi thầy đang dạy toán. Người giảng viên sẽ biết làm thăng hoa một bài giảng khi người đó có say mê vào một lĩnh vực nào đó và như một sự thôi miên, rất nhiều ông thầy đã gieo được những giấc mơ cho người học từ chính những thăng hoa của giảng viên trên bục giảng bài. Thầy Thanh là một người thầy biết thuật thôi miên!  

---

[1] Đây là người thầy thứ 2 mà tôi được học có lối trình bày phấn bảng khoa học. Hồi học lớp 8, cấp III Triệu Sơn 2 tôi biết thầy tên Nguyễn Trọng Giáp (năm 1973 thầy Giáp chuyển về trường cấp III Lam Sơn). Thầy Giáp dạy môn địa lí, trình bày bảng như một bức tranh vẽ bằng phấn nhiều màu rất đẹp.

[2] Nhà toán học Nga Andrey Markov (1856-1922) nghiên cứu chuỗi Markov từ đầu thế kỷ 20, đăng tải bài báo đầu tiên về vấn đề này năm 1906. Xem thêm tại https://vi.wikipedia.org/wiki/Andrey_Andreyevich_Markov