Chuyện năm thứ nhất – Thi môn toán cao cấp và đôi điều về các ứng dụng toán

1. Ôn, phụ đạo và thi môn toán

Ở bài trước, tôi đã tóm tắt về những gì thầy Thanh dạy toán cao cấp năm thứ nhất. Khóa 20 ngành Kinh tế nông nghiệp có thời gian lao động nghề nghiệp 8 tuần. Khi đó tôi đã thấy nhiều người lo lắng về việc thi qua được môn toán. Mấy anh em trẻ Tổ 1 thì cơ bản giải được các dạng bài tập phần giải tích giáo viên cho làm tại nhà. Vào tháng 5 thầy Thanh giảng thêm các nội dung về toán tổ hợp và lí thuyết tập hợp, mọi người cũng thấy lo vì những phần này nghe chừng khó hơn.

Sau khi thi xong 2 môn vấn đáp là Triết học Mác Lênin (thi ngày 28/6) và môn Nguyên lí sinh học (thi ngày 3/7) thì đến lịch thi môn toán (ngày 11/7/1976). Môn toán được thầy Thanh báo là sẽ thi viết vì Bộ môn Toán, Khoa Chung[1] không đủ giáo viên hỏi thi vấn đáp[2]. Như vậy Toán cao cấp là môn thi viết đầu tiên của chúng tôi ở trường đại học. Vào buổi dạy cuối, thầy đưa thêm một số bài tập để ôn thi.

Chúng tôi có 1 tuần ôn thi môn toán. Ban đầu là lao vào giải các bài tập thầy dành cho ôn tập. Đây là dạng bài tập có đề và đáp số (như kiểu hồi học cấp III) nên cứ giải và tìm ra đáp số là được. Tổ 1 có nhiều anh em trẻ nên cơ bản giải hết các dạng bài tập thầy Thanh ra đề ôn thi. Mọi người chép lại cách giải của những người làm được để tự ôn. Anh Hợp ở ngoại trú cũng thường vào KTX để trao đổi thêm các bài tập. Nói chung mấy anh em đi bộ đội về và đã lớn tuổi đều học toán khó khăn. Tổ 1 chỉ có anh Nguyễn Đình Chình tuy lớn tuổi mà học toán tốt - còn hơn cả bọn trẻ.

Khi đó có một bài tập cả phòng không ai tìm được đáp số, kể cả anh Chình. Một hôm anh Hợp vào cũng tỏ ra đang lo lắng về bài tập đó. Trong khi cả phòng chưa ai tìm được đáp số thì tôi bỗng tìm được lời giải. Mọi người xúm vào xem cách giải và đồng ý hướng giải quyết bài tập ấy, kể cả anh Chình.

Thực ra, khi thi xong 2 môn vấn đáp, bọn trẻ trong phòng đều có điểm không cao, đa số điểm 3/5. Các anh lớn tuổi thi vấn đáp phần nhiều điểm 4/5, nhất là môn Triết học Mác – Lênin. Tôi bị cả hai môn vấn đáp đều 3/5 nên mọi người đều nghĩ chắc tôi cũng học làng nhàng trung bình (lại đỗ vớt đầu vào). Hơn nữa, các bài toán ôn thi thầy Thanh cho khá nhiều nội dung đạo hàm – tức là phải biến đổi hàm số thành các dạng đạo hàm cơ bản. Mà phần này thì khi tôi vào học thì thầy Thanh đã dạy xong. Ban đầu có người không tin tôi giải được bài tập ấy. Anh Hợp tuyên bố cậu Ảnh may mắn tìm được đáp số - tôi tìm được ra đáp số trước cũng chỉ được cho là may mắn!

Nay nhớ lại cho vui thôi chứ hồi đó các dạng cơ bản của đạo hàm theo những hàm số thì các anh em đi bộ đội qua các lớp Văn hóa quân khu khó có thể còn sức học như bọn trẻ chúng tôi. Ai cũng mong qua được môn này vì nếu có thi lại thì cũng không hiểu biết hơn được – toán như đã “mất gốc” lâu rồi…

Ôn được 4 ngày thì lớp mời được thầy Thanh phụ đạo. Hồi đó rất ít khi các thầy phụ đạo ngay vì muốn sinh viên học qua một lượt, sau đó phụ đạo để nhấn mạnh các trọng tâm cần nắm vững – đại loại là bỏ bớt đi một số nội dung không thi để khỏi ôn tập. Buổi phụ đạo thì thầy Thanh bỏ qua hoàn toàn phần Lý thuyết tập hợp. Mọi người đều vui vì thấy phần này có học, làm được các bài tập đơn giản nhưng thật ra không ai hiểu mấy. Các vấn đề thầy tập trung nhấn mạnh là đạo hàm bậc nhất (không có bài tập đạo hàm bậc 2 hay bậc 3), vi phân, tích phân và một phần chuỗi số. Phần tổ hợp giải tích chỉ có một câu trong hoán vị hoặc giai thừa và 1 câu trong tổ hợp hoặc chỉnh hợp dạng cơ bản chỉ như các ví dụ trong bài tập đã làm. Thầy cho biết môn học sẽ thi viết trong 90 phút, gồm nhiều bài tập nhỏ theo các phần.

Do toàn bộ phần lí thuyết tập hợp được miễn thi, toán tổ hợp chỉ xoay quanh sử dụng 4 công thức, như các bài tập đã cho nên tôi nghĩ mọi vấn đề ôn thi cơ bản đã nắm vững.

Trong Tổ 1, các anh lớn tuổi là đáng lo ngại nhất (chắc các tổ khác cũng vậy). Anh Hợp – lúc này vẫn đang là lớp trưởng – trao đổi nhỏ trong Tổ 1 rằng các cậu trẻ có điều kiện thì gợi ý giúp các anh lớn tuổi để qua được môn toán, các anh ấy nghỉ học lâu nên bây giờ học toán khó lắm!

Hôm thi thì cả 2 lớp KT20 A và B ngồi chung phòng và chỉ có một đề. Đề thi được thầy chép lên bảng nên thầy phải mất rất nhiều thời gian. Đề thầy ra có nhiều câu nhỏ cho các phần đúng như thầy đã nói khi phụ đạo. Chỉ có một mình thầy Thanh trông thi. Thầy chép đề xong thì quan sát lớp và đi lại lên xuống liên tục. Chúng tôi làm bài khá nghiêm túc, không lộn xộn và thực ra cũng tìm được nhiều cách để mấy anh em học khá có thể giúp được các anh em đã lớn tuổi không khá về toán. Thầy Thanh đi lại rất nhanh, tôi ngồi bên ngoài một dãy bàn thấy mấy lần thầy đi qua. Dáng đi nhanh và nhẹ như không có tiếng động, đi bên này nhưng nhìn cả mấy dãy bàn bên kia. Không ai đem theo tài liệu gì và không ai dám trao đổi hay quay lên quay xuống. Cả lớp gần 120 người mà im lặng cặm cụi làm bài rất trật tự.

Tôi dành khoảng gần 1g là làm xong hết các bài trong đề. Soát lại 2 lần để yên tâm không sai sót, ngoài ra cũng tạo điều kiện để vài anh ngồi bên dưới có thể nhìn thấy bài làm của tôi dễ dàng. Một lần thầy Thanh đi ngang bảo tôi che bài làm để bảo đảm không bị copy. Khi hết giờ, thầy yêu cầu dừng bút và thầy thu bài theo các dãy bàn rất nhanh.

Hôm lớp biết kết quả, tôi được điểm 5/5. Cũng không rõ 2 lớp có mấy người đạt điểm 5/5 nhưng Tổ 1 chỉ có mình tôi, mấy anh em trẻ đều được 4/5. Sau đợt thi năm thứ nhất, nhờ điểm môn toán mà tôi thấy mọi người nhìn hơi khác chút: tôn trọng là chính, một vài người thán phục. Một hôm anh Trần Gia Lộc (Tổ 3) gặp tôi và nói: “Đám trẻ các bạn học không thể coi thường được, nhất là bạn Ảnh trông bé nhỏ gầy yếu nhưng lại rất giỏi toán”. Tôi chỉ biết cười khiêm tốn.

2. Về những ứng dụng nội dung toán cao cấp

Trong toán giải tích thì đạo hàm, vi phân, tích phân rất gần với các kiến thức toán đã học hồi lớp 10 nên việc tiếp thu cũng khá dễ. Chuỗi số cũng lí thú, nhất là tính tổng các chuỗi. Ở đây cũng có phần đã được học hồi cấp III là tổng của một cấp số nhân với công bội q<1 (cấp số lùi) và q>1 (cấp số tiến) hữu hạn hoặc vô hạn. Rất tiếc hồi đó thầy Thanh dạy toán không có kiến thức kinh tế nên thầy không nêu ví dụ về ứng dụng trong kinh tế.

Các phần toán năm thứ nhất tôi xin tóm tắt lại những ứng dụng và ý nghĩa sau: Đầu tiên là liên kết các sự việc lại với nhau sao cho chúng có dạng hàm số toán học. Thực ra thì các mối quan hệ trong đời sống, trong kinh tế và xã hội… đều có hiện tượng hàm số, hay nói đúng hơn là có tính hàm số. Ví dụ quan hệ giữa tuổi và sức khỏe (cân nặng, chiều cao, giới tính, đồng hóa, dị hóa, phát dục…) hay giữa bón phân và năng suất cây trồng. Khi đánh giá được các sự vật và hiện tượng có tính quan hệ với nhau thì tất nhiên sẽ xây dựng được một dạng hàm số. Từ đó xác định được cơ bản dạng hàm tổng quát, ví dụ hàm tuyến tính bậc nhất khi ta nói về sự đồng biến nào đó (chẳng hạn trẻ em đang lớn thì tuổi các em sẽ là hàm tuyến tính với chiều cao hay cân nặng). Quan hệ năng suất cây trồng thì khi ta bón thêm phân, năng suất ban đầu tăng, nhưng nếu ta bón quá nhiều thì năng suất có thể lại giảm. Lúc này quan hệ đó không còn là hàm tuyến tính nữa mà thành dạng hàm bậc 2 (phi tuyến)… Quan hệ giữa chất lượng sống người cao tuổi (từ >65 đến 80) với các chỉ số sức khỏe của người đó như huyết áp, đường máu, mỡ máu, mức vận động… cũng là một loại hàm số. Trong kinh tế thì cũng có vô số quan hệ như kết quả đầu tư vốn theo thời gian, lãi suất theo thời gian… đều là các hàm số điển hình rất dễ đo lường xem chúng tăng hay giảm, tăng giảm khi nào, nhanh hay chậm... Sau đó, khi biết dạng hàm cơ bản rồi thì các ứng dụng xuất hiện. Người ta dùng thước đo độ dốc là tiếp tuyến tại một điểm của hàm số: khi đạo hàm bậc nhất f’(x)= 0 thì xác định được giá trị độ dốc (tức là mức tăng hay giảm của hàm số). Chẳng hạn, khi độ dốc = 3 tức là nếu tọa độ x thay đổi một đơn vị thì tọa độ y tương ứng sẽ thay đổi nhanh gấp xấp xỉ 3 đơn vị.

Đạo hàm cấp 2, cấp 3… có tác dụng khi đi sâu nghiên cứu tính chất của hàm số. Chẳng hạn đạo hàm cấp 2 tại một điểm x₀ trên đồ thị f(x) cho biết là đường cong của hàm f(x) tại điểm x₀ đó đang "cong" hướng lên trên hay xuống dưới để tìm giá trị nhỏ nhất (cực tiểu) hay lớn nhất (cực đại). Để nhận biết đồ thị đang "cong" hướng lên hay hướng xuống tại điểm x₀ thì chỉ cần tính đạo hàm cấp 2 tại x₀: nếu f''(x₀) > 0 thì đồ thị đang "cong" hướng lên, và nếu f(x) có đáy tại x₀ thì f(x) có giá trị nhỏ nhất tại x₀. Ngược lại, nếu f''(x₀) < 0 thì đồ thị đang "cong" hướng xuống, và nếu f(x) có chóp tại x₀ thì f(x) có giá trị lớn nhất tại x₀.

Dùng vi phân và tích phân để xác định các giá trị khi một mối quan hệ (hay hàm số liên tục) được phân chia nhỏ ra hay cộng dồn lại. Trong thực tế như tính diện tích trong đo đạc, xác định mức lãi (lỗ) trong đầu tư, xác định mức độ giá trị trong tăng trưởng kinh tế…

Ngày nay, kinh tế học dùng khá nhiều dạng toán để mô phỏng tất cả các quan hệ, ban đầu ở dạng hàm bậc nhất (tuyến tính): ví dụ quan hệ giữa đầu tư và tăng trưởng: tăng đầu tư sẽ dẫn đến tăng trưởng. Sau đó mô phỏng dạng hàm bậc cao (bậc 2, bậc 3…) để nói khi nào thì hàm số sẽ tăng nhanh hay chậm, đâu là đỉnh, đâu là đáy để tác động vào các biến (tăng chi phí, tăng công lao động, tăng công nghệ…). Như vậy khi biết cơ bản được xu hướng hàm số của đối tượng quản lý, người kĩ sư kinh tế sẽ định hướng tăng năng suất lao động, năng suất cây trồng, doanh thu, lợi nhuận… Ý niệm toán sẽ có ngay trong các mức độ ứng dụng.   

Chuỗi số cũng là phần quan trọng của vi-tích phân được sử dụng trong nhiều khoa học khác như vật lý, thống kê, kinh tế… Hiện tượng mang tính chuỗi số như sự vận động của vật chất theo chiều thời gian, các thay đổi giá trị đầu tư theo thời gian, các dãy số biến thiên được quan sát như nắng, gió, bão, thủy triều, năng suất… Nếu có thống kê (đo đếm) được tình hình hay sự việc nào đó thì sẽ thành chuỗi số, từ đó có thể suy ra chuỗi vô hạn hay hữu hạn.

Như vậy toán cao cấp có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn.

3. Tôi may mắn có công việc sử dụng toán học

Ở các phần viết sau này, tôi sẽ đề cập việc thầy Thanh dạy ở năm thứ 2 là toán vận trù (tức là toán quy hoạch tối ưu), toán xibecnetic (điều khiển) và năm thứ 3 thầy Tô Cẩm Tú dạy toán xác suất. Các nội dung đó cũng rất bổ ích.

Từ khi trở thành giảng viên đại học (1985), tôi được học thêm khá nhiều về toán. Các thầy dạy có tiếng là PGS TS Đinh Xuân Bá và PGS TS Đặng Ngọc Dinh (Đại học Bách khoa Hà Nội)[3], GS TS Trần Túc (Đại học KTQD)[4]. Vào những năm 1990-2002, tôi được gặp nhiều chuyên gia nước ngoài sang Việt Nam dạy các dự án nghiên cứu nên biết thêm quy hoạch phi tuyến, nhất là các ứng dụng toán trên EXCEL như phần mềm XA[5] (giải bài toán quy hoạch tuyến tính), sử dụng hàm Cobb-Douglas trong hàm phi tuyến (dạng hàm bậc 2)… Nhờ đó, nhiều bài báo nghiên cứu của tôi đã công bố trên các Tạp chí, Luận án TS (bảo vệ 1996) cũng như hướng dẫn hàng chục Học viên cao học, nghiên cứu sinh tiến sĩ ứng dụng toán trong thực tế.

Trong giảng dạy – nhất là bậc cao học, các môn học tôi giảng dạy đều sử dụng nhiều kiến thức toán (đạo hàm, tích phân, vi phân, chuỗi số) vì chuyên môn về tiền tệ, tài chính, chứng khoán, đầu tư đều là những công việc rất phù hợp với mô tả toán học. Có môn học còn có tên hẳn hoi toán: toán tài chính. Đại loại các ứng dụng xoay quanh:

-       Chuỗi tài chính hay dòng tiền trong đầu tư, cho vay, góp vốn.

-       Các loại lãi suất: lãi suất thực – lãi suất danh nghĩa, cố định – thả nổi, tính đơn – tính kép, lãi suất nội tệ- ngoại tệ,  chiết khấu, tái chiết khấu, tái cấp vốn, liên ngân hàng, lãi suất hoàn vốn…

Đúng là một chút duyên phận – những kiến thức ban đầu đại học từ hồi thầy Thanh dạy đã cho tôi may mắn được sử dụng trong suốt 35 năm dạy học!

 

 

 

---

[1] Khi đó các môn dạy cho nhiều ngành (như toán, lý, hóa…) được xếp vào Khoa Chung.

[2] Thực ra đây là nội dung dạy cho ngành Kinh tế nông nghiệp nên nhiều chi tiết chỉ có một số giáo viên toán dạy được. Khóa KT21, thầy Thanh đi thi nghiên cứu sinh thì toán đã bỏ đi một số nội dung so với học toán của khóa KT20. 

[3] Thầy Đinh Xuân Bá dạy tôi môn toán quy hoạch trực giao, thầy Đặng Ngọc Dinh dạy tôi quy hoạch tuyến tính trong chương trình bồi dưỡng sau đại học 1988-1989 tại Đại học Bách khoa (khi đó tương đương thạc sĩ nhưng chưa được gọi là thạc sĩ vì danh hiệu học vị thạc sĩ chỉ có ở Việt Nam từ 1992).

[4] Thầy Trần Túc dạy tôi môn toán quy hoạch tuyến tính chương trình nghiên cứu sinh 1990.

[5] Trước 1995, việc sử dụng Excel giải bài toán quy hoạch tuyến tính rất phức tạp. Từ sau khi máy tính có Win95 ra đời, các ứng dụng toán dễ dàng hơn rất nhiều.